热辐射Thermal Radiation

热辐射：物质处于热平衡时的辐射
热平衡时，源函数$S_v$只是温度和频率的函数，$S_{v}=B_{v}(T), \quad B_{v}(T)$is called the Planck function(普朗克函数)，为普朗克提出的描写空腔黑体辐射的公式：

$$B_{v}(T)=\frac{2 h v^{3} / c^{2}}{\exp (h v / k T)-1}$$

由源函数的定义$S_{v} \equiv j_{v} / \alpha_{v}$
基尔霍夫定律(Kirchhoff’s Law) ：$j_{v} \equiv \alpha_{v} B_{v}(T)$
由以上两公式可以得出热平衡时源函数和黑体辐射是一个东西(?)$S_v\equiv B_v(T)$

再由光学厚时，由辐射转移方程的解$I_{\nu}\left(\tau_{\nu}\right)=I_{\nu, 0} e^{-\tau_{\nu}}+S_{\nu}\left(1-e^{-\tau_{\nu}}\right)$
可以得到$ I_{v}=S_{v}=B_{v}(T)$，即黑体辐射是均匀、各向同性的
并且只有在光学厚时热辐射才成为黑体辐射($I_v=B_v(T)$)

由S为常数的辐射转移方程的解可以推出，厚度为L(区域L内热平衡)的局部热平衡介质出射强度：

$$I_{v}^{\text {out }}=B_{v}(T)\left(1-e^{-\alpha_{v} L}\right)$$

普朗克函数(黑体辐射)的性质：

$$B_{v}(T)=\frac{2 h v^{3} / c^{2}}{\exp (h v / k T)-1}, \quad B_{\lambda}(T)=\frac{2 h c^{2} / \lambda^{5}}{\exp (h c / \lambda k T)-1}$$

基本性质

a)$\mathrm{h} v<<\mathrm{kT}$，低频时，瑞利-金斯近似(the Rayleigh-Jeans Law)

$$I_{v}(T)=\frac{2 v^{2}}{c^{2}} k T$$

b)$\mathrm{h} v>>\mathrm{kT}$，高频时，维恩近似(the Wien Law)

$$I_{v}(T)=\frac{2 h v^{3}}{c^{2}} \exp \left(-\frac{h v}{k T}\right)$$

c)温度高的黑体辐射在任何频率处都比温度低的辐射强。即若$\mathrm{T}_{2}>\mathrm{T}_{1}$，则有$\mathrm{B}_{v}\left(\mathrm{~T}_{2}\right)>\mathrm{B}_{v}\left(\mathrm{~T}_{1}\right)$。原因为：

$$\frac{\partial B_{\nu}}{\partial T}=\frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{\partial f}{\partial T}=\frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}}\left(\frac{-1}{\left(e^{h \nu / k T}-1\right)^{2}}\right) \frac{-h \nu}{k T^{2}}>0$$

d)维恩位移定律Wien displacement Law

在一定温度下，绝对黑体的温度与辐射本领最大值相对应的波长λ的乘积为一常数。

黑体辐射流量

（注意这里是指黑体表面的流量, 积分只覆盖半天 $2 \pi$

$$\begin{gathered} F \equiv \int S \cos \theta d \Omega=S \int_{0}^{2 \pi} d \phi \int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta \sin \theta d \theta=\pi S \\ \because S=\frac{\sigma_{B} T^{4}}{\pi} \quad \therefore F=\sigma_{B} T^{4} \end{gathered}$$

辐射场能量密度 $u=\int u(\Omega) d \Omega=\int \frac{I}{c} d \Omega$
黑体表面的场能密度只在 $2 \pi$ 积分: $u=\frac{2 \pi I}{c}=\frac{2 \sigma_{B} T^{4}}{c}$
黑体内部则由所有方向的贡献: $u=\frac{4 \pi I}{c}=\frac{4 \sigma_{B} T^{4}}{c}$

光子数密度

$$n_{v}=\frac{u_{v}}{h v} \Rightarrow n=\int \frac{u_{v}}{h v} d v=\int \frac{B_{v}}{c h v} d v d \Omega$$

式中的$u_v$来自于各个方向强度$B_v$的贡献。

$$\begin{aligned} n &=2 \int d \Omega \frac{1}{c^{3}} \int \nu^{2} d \nu \frac{1}{e^{h \nu / k T}-1} \\ &=\frac{8 \pi}{c^{3}}\left(\frac{k T}{h}\right)^{3} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} d x}{e^{x}-1}=\frac{16 \pi \zeta(3)}{c^{3}}\left(\frac{k T}{h}\right)^{3} \\ &=\frac{2 \zeta(3)}{\pi^{2} c^{3}}\left(\frac{k T}{\hbar}\right)^{3} \end{aligned}$$

其中$\zeta(3) \approx 1.202$

亮温度Brightness temperature

对于任意$I_v$，定义亮温度$T_b(v)$：$I_{v}=B_{v}\left(T_{b}\right)$

在经典极限下$\mathrm{h} v<<\mathrm{kT}$，由瑞利-金斯近似$B_{v}(T) \approx \frac{2 v^{2}}{c^{2}} k T$

$$I_{v}=\frac{2 v^{2}}{c^{2}} k T_{b} \quad \longrightarrow \quad T_{b}=\frac{c^{2}}{2 v^{2} k} I_{v}$$

射电天文学中，通常用亮温度表示非热射电源在某频率处的辐射强度。