辐射转移小结

辐射转移：光线在介质中传播时，其强度、谱形、偏振等会因为介质吸收和发射而发生变化。

微分光深：$d\tau_v = \alpha_vds$，表示光子走过ds路程被吸收的概率。
||微分光深由平均自由程的定义($l_{v}=\frac{1}{\alpha_{v}}$)而来，$l_v$的量纲是长度，$l_v$表示光子在介质中自由行走不被吸收的平均路程，由此定义的微分光深$d \tau_{v}=d s / l_{v}=\alpha_{v} d s$

光深：$\tau_v$由微分光深积分而来
||从公式可知，它不仅和介质几何厚度有关，还和吸收系数有关。
||$\tau_v<1$叫光学薄，$\tau_v>1$叫光学厚

源函数：$S_{v} \equiv j_{v} / \alpha_{v}$
||源函数是在解辐射转移方程的时候，式子里冒出一个$j_{v} / \alpha_{v}$然后就人为定义的量，包含了介质的吸收和发射的性质，量纲和强度相同。

辐射转移方程的两种形式：

$$\frac{d I_{v}}{d s}=j_{v}-\alpha_{v} I_{v} \quad \frac{d I_{v}}{d \tau_{v}}=S_{v}-I_{v}$$

||理解记忆(第一种形式)：一束光通过一介质后，其强度的增量等于介质自身的辐射减去被介质吸收的部分。
||第二种形式由第一种形式两边同时除以吸收系数$\alpha_v$并结合微分光深公式得到。

辐射转移方程的通解：

$$I_{\nu}\left(\tau_{\nu}\right)=I_{\nu, 0} e^{-\tau_{\nu}}+\int_{0}^{\tau_{\nu}} e^{-\left(\tau_{\nu}-\tau_{\nu}^{\prime}\right)} S_{\nu}\left(\tau_{\nu}^{\prime}\right) d \tau_{\nu}^{\prime}$$

理解记忆：右边第一项为入射强度经过光深为$\tau$的介质后变换了一个因子$e^{-\tau_v}$，第二项则是沿途各处(介质)产生的辐射$S_v$穿过介质变换了与光深相应的因子$e^{-(\tau_v-\tau_v ‘)}$

特解：

1.源函数为常数的特解：

$$I_{\nu}\left(\tau_{\nu}\right)=I_{\nu, 0} e^{-\tau_{\nu}}+S_{\nu}\left(1-e^{-\tau_{\nu}}\right)$$

出射强度由第一项入射光的贡献和第二项沿途各点介质本身（净）辐射的贡献。

2.源函数为常数，入射强度为0时的特解：

$$I_{\nu}\left(\tau_{\nu}\right)=\frac{j_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\left(1-e^{-\tau_{\nu}}\right)$$

a)若源是光学薄的，辐射强度为(等价无穷小or泰勒)：

$$I_{v}\left(\tau_{v}\right)=\left(j_{v} / \alpha_{v}\right) \tau_{v}=j_{v} R \quad \text { for } \quad \tau_{v}<<1$$

​ ||光学薄时源的辐射强度约等于发射系数乘以尺度R$(R=\tau_v/\alpha_v)$。

b)若源是光学厚的，辐射强度为：

$$I_{v}\left(\tau_{v}\right)=j_{v} / \alpha_{v}=\frac{j_{v} R}{\tau_{v}} \text { for } \tau_{v}>>1$$ $$\because \frac{1}{\alpha_{v}} \equiv l_{v} \quad \text { (平均自由程) } \quad \therefore I_{v}\left(\tau_{v}\right)=j_{v} l_{v}$$

​ ||对于光学厚源，可以理解为我们看到的辐射主要是从表面到一个平均自由程$l_v$处来的，即光学薄的那层介质的辐射，此处的光子才能逃逸出来。